【自动控制原理】根轨迹法之绘制根轨迹

目录

一、根轨迹原理

1.1 零极点分布图1.2 根轨迹概念1.3 根轨迹方程二、根轨迹绘制法则

2.1 180°根轨迹和0°根轨迹2.2 180°根轨迹绘制法则2.3 0°根轨迹绘制法则三、广义根轨迹绘制方法

一、根轨迹原理

1.1 零极点分布图

在复平面上，用×表示极点，用○表示零点。如开环传递函数

W

(

s

)

=

2

(

s

+

1

)

(

s

+

2

)

(

s

+

3

)

W(s)=\frac{2(s+1)}{(s+2)(s+3)}

W(s)=(s+2)(s+3)2(s+1)​的零极点分布图为 matlab命令：

>> sys = zpk([-1],[-2,-3],2)

sys =

2 (s+1)

-----------

(s+2) (s+3)

Continuous-time zero/pole/gain model.

>> pzmap(sys)

>> axis([-4,1,-1,1])

1.2 根轨迹概念

开环传递函数某一参量从0变化到无穷时，其闭环系统的特征根在复平面上运动的轨迹称为根轨迹。

由于线性系统性能与特征根密切相关，故研究根的变化可以反映系统性能。比如判定稳定性和响应，就可以按下列区域判定。 而反过来，也可以通过设计根的运行轨迹，选择合适的参数和零极点。

具体来说： （1）开环增益从0变化到∞时，如果根轨迹始终没有越过虚轴进入右半平面，则对于所有K都是稳定的。如果根轨迹与虚轴相交，则相交时对应的

K

0

K_0

K0​值即为临界增益。如果根从左侧运行到右侧，则

0

<

K

<

K

0

0

0

K

0

<

K

<

∞

K_0

K0​

K

K

K值就是静态误差系数。 （3）通过确定系统阻尼比，可以确定系统特征根应在的位置，从而实现对参数的设计。

1.3 根轨迹方程

设一个线性闭环系统前向通道传递函数为

G

(

s

)

G(s)

G(s)，反馈通道传递函数为

H

(

s

)

H(s)

H(s)，则闭环系统传递函数可以表示为

W

(

s

)

=

G

(

s

)

1

+

G

(

s

)

H

(

s

)

W(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

W(s)=1+G(s)H(s)G(s)​。

那么，其闭环特征方程为

D

(

s

)

=

1

+

G

(

s

)

H

(

s

)

=

0

D(s)=1+G(s)H(s)=0

D(s)=1+G(s)H(s)=0即有

G

(

s

)

H

(

s

)

=

K

∗

∏

j

=

1

m

(

s

−

z

j

)

∏

i

=

1

n

(

s

−

p

i

)

=

−

1

=

e

j

(

2

k

+

1

)

π

，其中

k

∈

Z

G(s)H(s)=\frac{K^*\prod_{j=1}^m (s-z_j)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)}=-1=e^{j(2k+1)\pi}，其中k\in Z

G(s)H(s)=∏i=1n​(s−pi​)K∗∏j=1m​(s−zj​)​=−1=ej(2k+1)π，其中k∈Z复变函数告诉我们：两个复数相乘，积的幅值等于两个复数幅值的乘积，积的幅角等于两个复数幅角的和。

所以由上式可以得出根轨迹的相角条件和幅值条件： 相角条件：

∑

j

=

1

m

∠

(

s

−

z

j

)

−

∑

i

=

1

n

∠

(

s

−

p

i

)

=

(

2

k

+

1

)

π

，其中

k

∈

Z

\sum_{j=1}^{m}{\angle(s-z_j)}-\sum_{i=1}^{n}{\angle(s-p_i)}=(2k+1)\pi，其中k\in Z

j=1∑m​∠(s−zj​)−i=1∑n​∠(s−pi​)=(2k+1)π，其中k∈Z 幅值条件：

K

∗

=

∏

i

=

1

n

∣

s

−

p

i

∣

∏

j

=

1

m

∣

s

−

z

j

∣

K^*=\frac{\prod_{i=1}^{n}{|s-p_i|}}{\prod_{j=1}^{m}{|s-z_j|}}

K∗=∏j=1m​∣s−zj​∣∏i=1n​∣s−pi​∣​

【应用举例】： 已知

G

(

s

)

H

(

s

)

=

K

∗

(

s

+

3

)

(

s

+

1

)

(

s

+

2

)

G(s)H(s)=\frac{K^*(s+3)}{(s+1)(s+2)}

G(s)H(s)=(s+1)(s+2)K∗(s+3)​证明其根轨迹是圆。 证明： 令

s

=

σ

+

j

ω

s=\sigma+j\omega

s=σ+jω，得

G

(

σ

+

j

ω

)

H

(

σ

+

j

ω

)

=

K

∗

(

3

+

σ

+

j

ω

)

(

1

+

σ

+

j

ω

)

(

2

+

σ

+

j

ω

)

G(\sigma+j\omega)H(\sigma+j\omega)=\frac{K^*(3+\sigma+j\omega)}{(1+\sigma+j\omega)(2+\sigma+j\omega)}

G(σ+jω)H(σ+jω)=(1+σ+jω)(2+σ+jω)K∗(3+σ+jω)​，则由相角条件：

a

r

c

t

a

n

ω

3

+

σ

−

a

r

c

t

a

n

ω

1

+

σ

−

a

r

c

t

a

n

ω

2

+

σ

=

π

arctan\frac{\omega}{3+\sigma}-arctan\frac{\omega}{1+\sigma}-arctan\frac{\omega}{2+\sigma}=\pi

arctan3+σω​−arctan1+σω​−arctan2+σω​=π两边取正切，得：

−

ω

(

σ

2

+

6

σ

+

7

)

−

ω

3

σ

3

+

6

σ

2

+

(

11

+

ω

2

)

σ

+

6

=

0

\frac{-\omega(\sigma^2+6\sigma+7)-\omega^3}{\sigma^3+6\sigma^2+(11+\omega^2)\sigma+6}=0

σ3+6σ2+(11+ω2)σ+6−ω(σ2+6σ+7)−ω3​=0 所以

−

ω

(

σ

2

+

6

σ

+

7

)

−

ω

3

=

0

-\omega(\sigma^2+6\sigma+7)-\omega^3=0

−ω(σ2+6σ+7)−ω3=0即

(

σ

+

3

)

2

+

ω

2

=

2

(\sigma+3)^2+\omega^2=2

(σ+3)2+ω2=2所以，根轨迹是圆。

我们可以用matlab进行验证：

>> sys = zpk([-3],[-2,-1],1)

sys =

(s+3)

------------

(s+2) (s+1)

Continuous-time zero/pole/gain model.

>> rlocus(sys)

>> axis equal

二、根轨迹绘制法则

2.1 180°根轨迹和0°根轨迹

1、当控制系统为最小相位系统时，其相角条件满足

(

2

k

+

1

)

π

(2k+1)\pi

(2k+1)π，当控制系统不是最小相位系统时，不能采用常规根轨迹法绘制系统根轨迹，因为此时系统相角条件遵循

0

+

2

k

π

0+2k\pi

0+2kπ。

2、产生0°根轨迹的原因： （1）系统具有正实部开环零极点且包含

s

s

s最高次幂系数为负数的因子。 （2）控制系统含有正反馈回路。

3、判定0°根轨迹和180°根轨迹的数学方法 写出特征方程：

1

+

G

(

s

)

H

(

s

)

=

0

1+G(s)H(s)=0

1+G(s)H(s)=0，然后化为：

G

(

s

)

H

(

s

)

=

K

∗

∏

j

=

1

m

(

s

−

z

j

)

∏

i

=

1

n

(

s

−

p

i

)

=

±

1

G(s)H(s)=\frac{K^*\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}=\pm1

G(s)H(s)=∏i=1n​(s−pi​)K∗∏j=1m​(s−zj​)​=±1，如果等号右侧为-1，则为180°根轨迹，若为1，则为0°根轨迹。

2.2 180°根轨迹绘制法则

设开环传递函数：

G

(

s

)

H

(

s

)

=

K

∗

∏

j

=

1

m

(

s

−

z

j

)

∏

i

=

1

n

(

s

−

p

i

)

G(s)H(s)=\frac{K^*\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}

G(s)H(s)=∏i=1n​(s−pi​)K∗∏j=1m​(s−zj​)​ 则根轨迹绘制法则如下：

1、起点和终点：起始于开环极点或无穷远，终止于开环零点或无穷远。

2、根轨迹分支数 =

m

a

x

{

m

,

n

}

max\lbrace m,n \rbrace

max{m,n}

3、渐近线（通常

n

>

m

n>m

n>m）：

（1）条数 =

n

−

m

n-m

n−m

（2）与实轴夹角：

ϕ

a

=

(

2

k

+

1

)

π

n

−

m

\phi_a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}

ϕa​=n−m(2k+1)π​

（3）交点：

σ

a

=

∑

i

=

1

n

p

i

−

∑

j

=

1

m

z

j

n

−

m

\sigma_a=\frac{\sum_{i=1}^{n}{p_i}-\sum_{j=1}^{m}{z_j}}{n-m}

σa​=n−m∑i=1n​pi​−∑j=1m​zj​​

4、实轴分布：对于实轴上某一区域，如果其右侧开环传递函数零极点个数之和为奇数，则该区域是根轨迹区域。

5、分离点和分离角： 分离点坐标满足：

∑

j

=

1

m

1

d

−

z

j

=

∑

i

=

1

n

1

d

−

p

i

\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{d-z_j}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d-p_i}

j=1∑m​d−zj​1​=i=1∑n​d−pi​1​

l

l

l条根轨迹相遇，分离角满足：

ϕ

d

=

(

2

k

+

1

)

π

l

，其中

k

∈

Z

\phi_d=\frac{(2k+1)\pi}{l}，其中k \in Z

ϕd​=l(2k+1)π​，其中k∈Z 6、起始角和终止角： 起始角：

θ

p

i

=

(

2

k

+

1

)

π

+

(

∑

j

=

1

m

ϕ

z

j

p

i

−

∑

j

=

1

n

θ

p

j

p

i

)

，其中，

i

≠

j

\theta_{p_i}=(2k+1)\pi+(\sum_{j=1}^{m}\phi_{z_jp_i}-\sum_{j=1}^{n}\theta_{p_jp_i})，其中，i\neq j

θpi​​=(2k+1)π+(∑j=1m​ϕzj​pi​​−∑j=1n​θpj​pi​​)，其中，i=j 终止角：

ϕ

z

i

=

(

2

k

+

1

)

π

−

(

∑

j

=

1

m

ϕ

z

j

z

i

−

∑

j

=

1

n

θ

p

j

z

i

)

，其中，

i

≠

j

\phi_zi=(2k+1)\pi-(\sum_{j=1}^{m}\phi_{z_jz_i}-\sum_{j=1}^{n}\theta_{p_jz_i})，其中，i\neq j

ϕz​i=(2k+1)π−(∑j=1m​ϕzj​zi​​−∑j=1n​θpj​zi​​)，其中，i=j

7、根轨迹与虚轴交点：如果根轨迹与虚轴相交，则交点的

K

∗

K^*

K∗值和

ω

\omega

ω值可由劳斯判据确定，也可以令闭环特征方程中

s

=

j

ω

s=j\omega

s=jω，然后令实部虚部分别等于0，得到二元方程组，求解即可。

8、根之和：

n

−

m

≥

2

n-m\geq2

n−m≥2时，开环

n

n

n个极点的和等于闭环特征方程

n

n

n个特征根的和。

【实例】已知单位负反馈系统开环传递函数

W

(

s

)

=

K

g

∗

(

s

+

3

)

(

s

+

1

)

(

s

+

2

)

(

s

2

+

s

+

1.25

)

W(s)=\frac{K_{g}^{*}(s+3)}{(s+1)(s+2)(s^2+s+1.25)}

W(s)=(s+1)(s+2)(s2+s+1.25)Kg∗​(s+3)​绘制根轨迹。

显然，系统有一个开环零点

z

=

−

3

z=-3

z=−3，四个开环极点

p

1

=

−

1

，

p

2

=

−

2

，

p

3

,

4

=

−

0.5

±

j

p_1=-1，p_2=-2，p_{3,4}=-0.5\pm j

p1​=−1，p2​=−2，p3,4​=−0.5±j所以分支数

=

m

a

x

{

1

,

4

}

=

4

=max \lbrace 1,4\rbrace=4

=max{1,4}=4条

渐近线条数：

n

−

m

=

4

−

1

=

3

n-m=4-1=3

n−m=4−1=3条

渐近线交角：

ϕ

a

=

(

2

k

+

1

)

π

n

−

m

=

π

,

±

π

3

\phi_a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}=\pi,\pm\frac{\pi}{3}

ϕa​=n−m(2k+1)π​=π,±3π​

渐近线交点：

σ

a

=

∑

i

=

1

n

p

i

−

∑

j

=

1

m

z

j

n

−

m

=

−

1

3

\sigma_a=\frac{\sum_{i=1}^{n}p_i-\sum_{j=1}^{m}z_j}{n-m}=-\frac{1}{3}

σa​=n−m∑i=1n​pi​−∑j=1m​zj​​=−31​

实轴分布：由零极点分布图知

(

−

∞

,

−

3

)

∪

(

−

2

,

−

1

)

(-\infty,-3)\cup(-2,-1)

(−∞,−3)∪(−2,−1)是根轨迹区域

分离点：

1

d

+

3

=

1

d

+

1

+

1

d

+

2

+

1

d

+

0.5

+

j

+

1

d

+

0.5

−

j

\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+0.5+j}+\frac{1}{d+0.5-j}

d+31​=d+11​+d+21​+d+0.5+j1​+d+0.5−j1​解得

d

1

=

−

1.688

，

d

2

=

−

3.722

，

d

3

,

4

=

−

0.67

±

0.592

j

d_1=-1.688，d_2=-3.722，d_{3,4}=-0.67\pm 0.592j

d1​=−1.688，d2​=−3.722，d3,4​=−0.67±0.592j（舍） 分离角：

ϕ

d

=

±

π

2

\phi_d=\pm\frac{\pi}{2}

ϕd​=±2π​

与虚轴交点： 闭环特征方程

D

(

s

)

=

s

4

+

4

s

3

+

6.25

s

2

+

5.75

s

+

2.5

+

K

g

∗

s

+

3

K

g

∗

=

0

D(s)=s^4+4s^3+6.25s^2+5.75s+2.5+K_{g}^*s+3K_{g}^*=0

D(s)=s4+4s3+6.25s2+5.75s+2.5+Kg∗​s+3Kg∗​=0，令

s

=

j

ω

s=j\omega

s=jω 得

D

(

j

ω

)

=

ω

4

−

4

ω

3

j

−

6.25

ω

2

+

5.75

ω

j

+

2.5

+

K

g

∗

ω

j

+

3

K

g

∗

=

(

ω

4

−

6.25

ω

2

+

2.5

+

3

K

g

∗

)

+

(

K

g

∗

ω

+

5.75

ω

−

4

ω

3

)

j

=

0

D(j\omega)=\omega^4-4\omega^3j-6.25\omega^2+5.75\omega j+2.5+K_{g}^*\omega j+3K_{g}^*=(\omega^4-6.25\omega^2+2.5+3K_{g}^*)+(K_{g}^*\omega+5.75\omega-4\omega^3)j=0

D(jω)=ω4−4ω3j−6.25ω2+5.75ωj+2.5+Kg∗​ωj+3Kg∗​=(ω4−6.25ω2+2.5+3Kg∗​)+(Kg∗​ω+5.75ω−4ω3)j=0 所以

{

ω

4

−

6.25

ω

2

+

2.5

+

3

K

g

∗

=

0

K

g

∗

ω

+

5.75

ω

−

4

ω

3

=

0

\left\{ \begin{array}{c} \omega^4-6.25\omega^2+2.5+3K_{g}^*=0 \\ K_{g}^*\omega+5.75\omega-4\omega^3=0 \\ \end{array} \right.

{ω4−6.25ω2+2.5+3Kg∗​=0Kg∗​ω+5.75ω−4ω3=0​解得

K

g

∗

=

1.9398

或

−

36.44

（舍），

ω

=

1.3865

K_{g}^*=1.9398或-36.44（舍），\omega=1.3865

Kg∗​=1.9398或−36.44（舍），ω=1.3865 所以绘制图如下： 用matlab进行绘图：

>> sys = zpk([-3],[-2,-1,-0.5+j,-0.5-j],1)

sys =

(s+3)

----------------------------

(s+2) (s+1) (s^2 + s + 1.25)

Continuous-time zero/pole/gain model.

>> rlocus(sys)

>> axis equal

附：分离点计算的matlab程序：

>> solve(1/(d+3)==1/(d+1)+1/(d+2)+1/(d+0.5+j)+1/(d+0.5-j),d)

ans =

root(z^4 + (20*z^3)/3 + (169*z^2)/12 + (25*z)/2 + 59/12, z, 1)

root(z^4 + (20*z^3)/3 + (169*z^2)/12 + (25*z)/2 + 59/12, z, 2)

root(z^4 + (20*z^3)/3 + (169*z^2)/12 + (25*z)/2 + 59/12, z, 3)

root(z^4 + (20*z^3)/3 + (169*z^2)/12 + (25*z)/2 + 59/12, z, 4)

>> vpa(ans)

ans =

-3.6375710980630009637620727119609

-1.6876563208283032347505827804396

- 0.67071962388768123407700558713306 - 0.59247751039734779329021710892861i

- 0.67071962388768123407700558713306 + 0.59247751039734779329021710892861i

2.3 0°根轨迹绘制法则

零度根轨迹的绘制法则与180度根轨迹类似，只是需要对个别位置进行更改，具体如下： （1）渐近线交角：在0°根轨迹中，

ϕ

a

=

2

k

π

n

−

m

\phi_a=\frac{2k\pi}{n-m}

ϕa​=n−m2kπ​. （2）实轴分布：在0°根轨迹中，实轴某一区域若其右侧零极点个数之和为偶数个，则该区域为根轨迹区域。 （3）起始角和终止角：在0°根轨迹中，要把180°根轨迹起始角终止角公式中的

(

2

k

+

1

)

π

(2k+1)\pi

(2k+1)π变为

2

k

π

2k\pi

2kπ

例：

W

(

s

)

=

K

g

∗

(

s

+

3

)

(

s

+

2

)

(

1

−

s

)

W(s)=\frac{K_{g}^*(s+3)}{(s+2)(1-s)}

W(s)=(s+2)(1−s)Kg∗​(s+3)​ PS：可对比1.3节中的180°根轨迹

三、广义根轨迹绘制方法

广义根轨迹是指参量不是放大系数的时候，需要做一定变形，将变化参量转化到以前“放大系数”的“位置”，得到等效开环传递函数，从而绘制根轨迹。

比如单位负反馈

W

(

s

)

=

2

(

s

+

3

)

(

a

s

+

1

)

(

s

+

2

)

W(s)=\frac{2(s+3)}{(as+1)(s+2)}

W(s)=(as+1)(s+2)2(s+3)​绘制

a

a

a变化时根轨迹

显然，特征方程：

D

(

s

)

=

a

s

(

s

+

2

)

+

3

s

+

8

=

0

D(s)=as(s+2)+3s+8=0

D(s)=as(s+2)+3s+8=0变形得：

1

+

a

s

(

s

+

2

)

3

s

+

8

=

0

1+\frac{as(s+2)}{3s+8}=0

1+3s+8as(s+2)​=0 所以

W

e

q

(

s

)

=

a

s

(

s

+

2

)

3

s

+

8

W_{eq}(s)=\frac{as(s+2)}{3s+8}

Weq​(s)=3s+8as(s+2)​ 绘制根轨迹如图：